प्रश्नावली 1.2 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ · 3 प्रश्न

प्रश्न 1

सिद्ध कीजिए कि $5$ एक अपरिमेय संख्या है।

ज्ञात है

संख्या

5

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है कि

5

अपरिमेय है

प्रमेय: यदि अभाज्य संख्या p, a² को विभाजित करती है, तो p, a को भी विभाजित करती है (a एक धनात्मक पूर्णांक)।

विरोधाभास विधि: माना $5$ परिमेय है। तब ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (b ≠ 0) होंगे कि

5

\frac{a}{b}

तिरछा गुणा करने पर

b 5

a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

5 b^{2}

a^{2}

अतः 5, a² को विभाजित करता है, इसलिए प्रमेय से 5, a को भी विभाजित करेगा। माना a = 5c, जहाँ c एक पूर्णांक है। a का मान रखने पर

5 b^{2}

(5 c)^{2}

25 c^{2}

b^{2}

5 c^{2}

अतः 5, b² को विभाजित करता है, इसलिए 5, b को भी विभाजित करेगा। इस प्रकार 5, a और b दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जबकि a और b सह-अभाज्य हैं (1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं)। यह विरोधाभास है।

उत्तर: हमारी कल्पना गलत थी, अतः

5

अपरिमेय है।

प्रश्न 2

सिद्ध कीजिए कि 3 + 2 $5$ एक अपरिमेय संख्या है।

ज्ञात है

संख्या 3 + 2

5

;

5

अपरिमेय है (प्रश्न 1 से)

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है कि 3 + 2

5

अपरिमेय है

माना 3 + 2 $5$ परिमेय है। तब ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (b ≠ 0) होंगे कि

3 + 25

\frac{a}{b}

25

\frac{a}{b} - 3

\frac{a - 3 b}{b}

5

\frac{a - 3 b}{2 b}

a और b पूर्णांक हैं, इसलिए $\frac{a - 3 b}{2 b}$ परिमेय है, अतः $5$ भी परिमेय होगा। परंतु $5$ अपरिमेय है। यह विरोधाभास है।

उत्तर: अतः 3 + 2

5

अपरिमेय है।

प्रश्न 3

सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं: (i) $\frac{1}{2}$ (ii) 7 $5$ (iii) 6 + $2$

ज्ञात है

\frac{1}{2}

, 7

5

, 6 +

2

;

2

और

5

अपरिमेय हैं

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है कि तीनों संख्याएँ अपरिमेय हैं

(i)

\frac{1}{2}

माना $\frac{1}{2}$ परिमेय है। तब सह-अभाज्य पूर्णांक a, b (b ≠ 0) होंगे कि

\frac{1}{2}

\frac{a}{b}

व्युत्क्रम लेने पर

2

\frac{b}{a}

$\frac{b}{a}$ परिमेय है, अतः $2$ परिमेय होगा, जबकि $2$ अपरिमेय है। विरोधाभास।

उत्तर:

\frac{1}{2}

अपरिमेय है।

(ii) 7

5

माना 7 $5$ परिमेय है। तब

75

\frac{a}{b}

5

\frac{a}{7 b}

$\frac{a}{7 b}$ परिमेय है, अतः $5$ परिमेय होगा, जबकि $5$ अपरिमेय है। विरोधाभास।

उत्तर: 7

5

अपरिमेय है।

(iii) 6 +

2

माना 6 + $2$ परिमेय है। तब

6 + 2

\frac{a}{b}

2

\frac{a}{b} - 6

\frac{a - 6 b}{b}

$\frac{a - 6 b}{b}$ परिमेय है, अतः $2$ परिमेय होगा, जबकि $2$ अपरिमेय है। विरोधाभास।

उत्तर: 6 +

2

अपरिमेय है।

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