प्रश्नावली 1.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ · 7 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7

प्रश्न 1

निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए: (i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

ज्ञात है

संख्याएँ 140, 156, 3825, 5005, 7429

ज्ञात करना है

इन्हें अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना

(i) 140

140 के अभाज्य गुणनखंड:

2	140
2	70
5	35
7	7
	1

140 = 2 × 2 × 5 × 7

(ii) 156

156 के अभाज्य गुणनखंड:

2	156
2	78
3	39
13	13
	1

156 = 2 × 2 × 3 × 13

(iii) 3825

3825 के अभाज्य गुणनखंड:

3	3825
3	1275
5	425
5	85
17	17
	1

3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17

(iv) 5005

5005 के अभाज्य गुणनखंड:

5	5005
7	1001
11	143
13	13
	1

5005 = 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429

7429 के अभाज्य गुणनखंड:

17	7429
19	437
23	23
	1

7429 = 17 × 19 × 23

उत्तर: 140 = 2² × 5 × 7, 156 = 2² × 3 × 13, 3825 = 3² × 5² × 17, 5005 = 5 × 7 × 11 × 13, 7429 = 17 × 19 × 23

प्रश्न 2

निम्नलिखित पूर्णांकों के युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है: (i) 26 और 91 (ii) 510 और 92 (iii) 336 और 54

ज्ञात है

पूर्णांकों के युग्म (26, 91), (510, 92), (336, 54)

ज्ञात करना है

प्रत्येक युग्म का HCF और LCM, तथा जाँच कि HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल

(i) 26 एवं 91

26 के अभाज्य गुणनखंड:

2	26
13	13
	1

26 = 2 × 13

91 के अभाज्य गुणनखंड:

7	91
13	13
	1

91 = 7 × 13

H CF

13

L CM

2 \times 7 \times 13

182

जाँच:

H CF \times L CM

13 \times 182

2366

दोनों संख्याओं का गुणनफल=

26 \times 91

2366

अतः HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल ✔

(ii) 510 एवं 92

510 के अभाज्य गुणनखंड:

2	510
3	255
5	85
17	17
	1

510 = 2 × 3 × 5 × 17

92 के अभाज्य गुणनखंड:

2	92
2	46
23	23
	1

92 = 2 × 2 × 23

H CF

2

L CM

2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23

23460

जाँच:

H CF \times L CM

2 \times 23460

46920

दोनों संख्याओं का गुणनफल=

510 \times 92

46920

अतः HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल ✔

(iii) 336 एवं 54

336 के अभाज्य गुणनखंड:

2	336
2	168
2	84
2	42
3	21
7	7
	1

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7

54 के अभाज्य गुणनखंड:

2	54
3	27
3	9
3	3
	1

54 = 2 × 3 × 3 × 3

H CF

2 \times 3

6

L CM

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7

3024

जाँच:

H CF \times L CM

6 \times 3024

18144

दोनों संख्याओं का गुणनफल=

336 \times 54

18144

अतः HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल ✔

उत्तर: (i) HCF = 13, LCM = 182; (ii) HCF = 2, LCM = 23460; (iii) HCF = 6, LCM = 3024

प्रश्न 3

अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए: (i) 12, 15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8, 9 और 25

ज्ञात है

पूर्णांक (12, 15, 21), (17, 23, 29), (8, 9, 25)

ज्ञात करना है

अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM

(i) 12, 15 एवं 21

12 के अभाज्य गुणनखंड:

2	12
2	6
3	3
	1

12 = 2 × 2 × 3

15 के अभाज्य गुणनखंड:

3	15
5	5
	1

15 = 3 × 5

21 के अभाज्य गुणनखंड:

3	21
7	7
	1

21 = 3 × 7

H CF

3

L CM

2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7

420

(ii) 17, 23 एवं 29

17 के अभाज्य गुणनखंड:

17	17
	1

17 = 17

23 के अभाज्य गुणनखंड:

23	23
	1

23 = 23

29 के अभाज्य गुणनखंड:

29	29
	1

29 = 29

तीनों संख्याएँ अभाज्य हैं, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं।

H CF

1

L CM

17 \times 23 \times 29

11339

(iii) 8, 9 एवं 25

8 के अभाज्य गुणनखंड:

2	8
2	4
2	2
	1

8 = 2 × 2 × 2

9 के अभाज्य गुणनखंड:

3	9
3	3
	1

9 = 3 × 3

25 के अभाज्य गुणनखंड:

5	25
5	5
	1

25 = 5 × 5

कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं।

H CF

1

L CM

2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5

1800

उत्तर: (i) HCF = 3, LCM = 420; (ii) HCF = 1, LCM = 11339; (iii) HCF = 1, LCM = 1800

प्रश्न 4

यदि HCF (306, 657) = 9 दिया है, तो LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

HCF (306, 657) = 9

ज्ञात करना है

LCM (306, 657)

हम जानते हैं:

H CF \times L CM

=दोनों संख्याओं का गुणनफल

L CM

\frac{306 \times 657}{9}

34 \times 657

22338

उत्तर: LCM (306, 657) = 22338

प्रश्न 5

जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

ज्ञात है

संख्या 6ⁿ, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है

ज्ञात करना है

क्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है

कोई संख्या अंक 0 पर तभी समाप्त होती है जब वह 10 से विभाज्य हो, अर्थात उसके अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों हों।

6^{n}

(2 \times 3)^{n}

2^{n} \times 3^{n}

6ⁿ के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 और 3 हैं, 5 नहीं है। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार यह गुणनखंडन अद्वितीय है, इसलिए 6ⁿ में 5 कभी नहीं आ सकता।

उत्तर: नहीं, किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

प्रश्न 6

व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।

ज्ञात है

7 × 11 × 13 + 13 तथा 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

ज्ञात करना है

ये भाज्य (composite) संख्याएँ क्यों हैं

पहली संख्या

7 \times 11 \times 13 + 13

13 \times (7 \times 11 + 1)

13 \times (77 + 1)

13 \times 78

1014

1014 के 1 और स्वयं के अलावा गुणनखंड 13 और 78 भी हैं, अतः यह भाज्य संख्या है।

दूसरी संख्या

7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5

5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1)

5 \times (1008 + 1)

5 \times 1009

5045

5045 के 1 और स्वयं के अलावा गुणनखंड 5 और 1009 भी हैं, अतः यह भाज्य संख्या है।

उत्तर: दोनों संख्याएँ 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंड (13 तथा 5) रखती हैं, इसलिए भाज्य हैं।

प्रश्न 7

किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

ज्ञात है

सोनिया एक चक्कर 18 मिनट में, रवि 12 मिनट में लगाते हैं; दोनों एक ही स्थान और समय से एक ही दिशा में चलते हैं

ज्ञात करना है

कितने मिनट बाद वे प्रारंभिक स्थान पर फिर मिलेंगे

दोनों उस समय मिलेंगे जो 18 और 12 दोनों का गुणज हो, यानी LCM (18, 12)।

18 के अभाज्य गुणनखंड:

2	18
3	9
3	3
	1

18 = 2 × 3 × 3

12 के अभाज्य गुणनखंड:

2	12
2	6
3	3
	1

12 = 2 × 2 × 3

L CM

2 \times 2 \times 3 \times 3

36

उत्तर: 36 मिनट बाद दोनों प्रारंभिक स्थान पर फिर मिलेंगे।

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